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7.5  本征值分析概述

《用于最优化的计算智能》 Nirwan Ansari Edwin Hou 著 李军 边肇祺 译 清华大学出版社

给定一个N× N 的实数或复数矩阵W,一个实数或复数λ被称为W的一个本征值,当且仅当

Wx= λx (7.30)其中x是对应于λ的本征向量。因此,λ是W的一个本征值,当且仅当(W- λI)为奇异矩阵(在本节中I 为单位矩阵),亦即

det(W- λI) = 0 (7.31)其中det(・)是矩阵的行列式。(7.31)式被称为W的本征方程。它是变量λ的N 阶多项式,因而也被称为以 为变量的 的本征多项式。可以证明本征多项式中 N 的系数为

λ W λ

(- 1)N, N- 1的系数为(- 1)N- 1 ( ),且常数项为 ( ),其中 ( )为 的迹。

λ tr W det W tr W W

这里我们不深入到数学细节中去,而是用一个简单的例子来复习本征值分析的概念。考虑如下6 6矩阵W:

5 0 0 0 0 0

0 1 0 0 0 0

W= 0 0 1 0 0 0 (7.32)

0 0 0 5 2 0

0 0 0 0 5 0

0 0 0 0 0 4

W的本征值和本征向量的推导如下:

(1) 本征值

令本征方程det(W- λI)= 0,得

det(W- λI) = 0 (1- λ)2(4- λ)(5- λ)3 = 0 (7.33)本征多项式的根就是本征值。从(7.33)式可知,共有三个本征值:λ1= 1,λ2= 4和λ3= 5。注意(7.33)式的各项指数之和与矩阵W的行或列数相等,亦即2+ 1+ 3= 6。每个不同本征值所对应的指数被称为该本征值的代数重数。λ1,λ2 和λ3 的代数重数分别为2,1和3。λ2被称为简单本征值,亦即代数重数为1的本征值。

(2) 本征向量

① λ1= 1 (W- I)x= 0,即

#第71页-

4 0 0 0 0 0 x1

0 0 0 0 0 0 x2

0 0 0 0 0 0 x3 = 0 (7.34)

0 0 0 4 2 0 x4

0 0 0 0 4 0 x5

0 0 0 0 0 3 x6

x1= x4= x5= x6= 0,且x2和x3可为任意值。由此可得,

x= α[0  1  0  0  0  0]T + β[0  0  1  0  0  0]T, (7.35)与这一本征值相应的是两个线性独立的本征向量,分别为

[0  1  0  0  0  0]T 和[0  0  1  0  0  0]T

它们构成了一个本征空间。因此,λ1的几何重数为2,而且本征空间的维数为2。

② λ2= 4 (W- 4I)x= 0,即

1 0 0 0 0 0 x1

0 - 3 0 0 0 0 x2

0 0 - 3 0 0 0 x3

0 0 0 1 2 0 x4 = 0 (7.36)

0 0 0 0 1 0 x5

0 0 0 0 0 0 x6

x= γ[0  0  0  0  0  0  1]T 是本征向量,γ为任意值且λ2 的几何重数为1。

③ 3= 5 (W- 5I)x= 0,即

0 0 0 0 0 0 x1

0 - 4 0 0 0 0 x2

0 0 - 4 0 0 0 x3

0 0 0 0 2 0 x4 = 0 (7.37)

0 0 0 0 0 0 x5

0 0 0 0 0 - 1 x6

= [1  0  0  0  0  0]T+ [0  0  0  1  0  0]T 是本征空间, , 为任意值。因而x ζ ξ ζξ

2 的几何重数为2,且对应的本征空间维数是2。

正如上述例子所示的,本征值的代数重数与其几何重数是截然不同的。