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5. 2  鞍点展开

《用于最优化的计算智能》 Nirwan Ansari Edwin Hou 著 李军 边肇祺 译 清华大学出版社

回想随机霍氏网在状态S 处的稳态概率分布符合如下波尔兹曼分布:

exp - E(S)

πT(S) = T (5.4)

ZT

其中: S是状态空间; r

E(S)是网络在状态S的能量;

T 仍是温度的控制参数;

ZT 是下式给出的划分函数:

ZT = exp - E(S) (5.5)

∑ T

S∈S

对于一个大型的最优化问题,划分函数ZT 的精确计算是很费功夫的。取而代之,可用鞍

点扩展[132]近似来解决这一问题。注意狄拉克( )脉冲函数 (・)可被表示为

Dirac δ

1 xy

δ(x) = ∫ e dy (5.6)

2π - 1 I

其中的积分是沿虚轴进行的。利用狄拉克脉冲函数的移位特性

f(x0) = f(x)δ(x- x0)dx (5.7)

R

划分函数可由下式计算

ZT= exp - E(S)

∑ T

S∈S

- E(v) u(S- v)

= C e T ¡¤e dudv

∑∫R I

S∈S

- E(v)- u¡¤v u¡¤S

= C e T ¡¤ e dudv

∫∫R I ∑

S∈S

E(v) u¡¤S

- - u¡¤v+ln∑e

= C e T S∈S dudv

∫∫R I

#第43页-

- Eeff(u,v)

=∫∫C e dudv (5.8)

R I

其中

E(v) u¡¤S

Eeff(u,v) = + u¡¤v- ln∑e (5.9)

T S∈S

在统计力学中被称为有效能量,而C是一个复常数。虽然很难找出上述积分方程的闭解,但若对其在有效能量的一个鞍点(一个临界点)处用泰勒(Taylor)级数展开,可以证明这一积分主要由鞍点处的能量值决定。这一数值方法被称为鞍点展开。鞍点可在Eeff(u,v)= 0的根中找到,因而满足

S¡¤eu¡¤S

Eeff ∑S∈s

= v- u¡¤S = 0 (5.10)

u e

∑S∈S

Eeff(u,v) 1 E(v)

v = T v + u= 0 (5.11)因此

S ¡¤eu¡¤S

v = < ST > = S∈S

eu¡¤S

S∈s

u= - 1 E(v) (5.12)

T v

其中< ST> 是温度T 处S的热均值。

在统计物理中,u和v被称为均场向量。如果状态S= [s1,s2,…,sn]T 用双极值序列表示,亦即 i∈{- 1,1}n,则 = [ 1, 2,…, n]T 且

s v v v v

uisi

∑ si¡¤e

ui - ui

s∈{- 1,1} e - e

i i i

v = = u - u = tanh(u) (5.13)

us i i

ii e + e

∑ e

si∈{- 1,1}

T 1 E(v)

其中u= [u1,u2,…,un] 且ui= - T vi 。因此,可以得到如下与(5.3)式相同的均场等式:

- 1 E(v)

vi= tanh(ui) = tanh T vi (5.14)在3.1节中霍氏网的能量曾由(3.8)式表示。它可用均场变量重写如下:

E(v) = - 1 wijvivj - viIi (5.15)

2∑∑ ∑

i j i

其中vi∈[- 1,1]。网络的稳定状态对应于超立方体{- 1,1}n 的2n 个角,亦即(5.16)式定义的能量函数的局部最小值。在这种情况下,均场等式变为

∑wijvj + Ii

vi= < si> = tanh j (5.16)

T

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因此,均场变量vi可以用如下迭代松弛过程求出:

wijvj- + Ii

+ ∑

vi = tanh j (5.17)

T